Deret Aritmatika dan Geometri


Deret Artimatika

Jika U_1 , U_2 , U_3 , U_4 , . . . , U_{n-1}, U_n merupakan barisan aritmatika, maka

U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + . . . + U_{n-1}+ U_nmerupakan deret aritmatika.

Jumlah n suku Deret Aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinotasikan dengan S_n.
Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika perhatikan langkah-langkah berikut:
Sn deret aritmatika

2S_n= n(U_1 + U_n)
S_n = \frac{n}{2}[U_1 + U_n] atau karena U_n = a + (n-1)b] maka

S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)b]

Keterangan:

\begin{array}{rcl} S_n &=& \text{ Jumlah n suku deret aritmatika } \\ n &=& \text{ banyaknya suku } \\ a &=& \text { Suku pertama } \\ b &=& \text{ beda/selisih } \end{array}

Suku ke-n dari barisan aritmatika juga bisa dicari menggunakan rumus berikut:

U_n = S_n - S_{n-1}

Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika

Suatu barisan aritmatika dengan banyaknya suku 2k-1 dimana k \geq 2, k \in \text{ bilangan asli } maka untuk mencari suku tengahnya dapat digunakan rumus:

U_k = \frac{1}{2}[U_1 + U_{2k-1}]

Keterangan:

\begin{array}{rcl} U_k &=& \text{ suku tengah } \\ U_{2k-1} &=& \text{ suku terakhir } \end{array}

Deret Geometri

Secara umum, dari suatu barisan geometri U_1, U_2, .. ,U_n dengan U_1= a dan rasio r, Anda dapat memperoleh bentuk umum deret geometri, yaitu U_1 + U_2 + .. + U_n = a+ar+ar^2+..+ar^{n-1}. Seperti pada deret aritmetika, jika Anda menjumlahkan barisan geometri maka Anda akan memperoleh deret geometri. Jika S_n menyatakan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri maka Anda peroleh

S_n=a+ar+ar^2+..+ar^{n-1} …(1)

Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret geometri, kalikanlah persamaan (1) dengan r, diperoleh

Sn \cdot r = ar + ar^2 + ar^3 + .. + ar^n …(2)

Seperti pada deret aritmetika, pada deret geometri pun Anda akan memperoleh jumlah deret geometri.

Selanjutnya, cari selisih dari persamaan (1) dan persamaan (2). Dalam hal ini, S_n - (S_n \cdot r)

Pandang :

S_n = a+ar+ar^2+..+ar^{n-1}

S_n \cdot r = ar + ar^{2} + .. + ar\sp{n-1} + ar^{n}

Sehingga :

S_n-(S_n \cdot r) = a-ar^{n}

S_n(1-r)=a(1-r^{n})

S_n = \frac{a(1-r^n)}{(1-r)}

Definisi Deret Geometri

Misalkan U_1, U_2, .. ,U_n adalah barisan geometri maka pemjumlahan U_1 + U_2 + .. + U_n adalah deret geometri.

Definisi

Suku ke-n suatu barisan geometri adalah Un.

Contoh :

Jika U_1 = k, U_2 = 3k, dan U_3 = 8k + 4 maka U_5 = …

a. 81

b. 162

c. 324

d. 648

e. 864

Jawab:

U_1 = k, U_2 = 3k, U_3 = 8k + 4

langkah pertama tentukan nilai r.

\frac{U_2}{U_1} = 3k / k = 3

Selanjutnya, tentukan nilai k.

\frac{U_3}{U_2} = \frac{8k + 4}{3k}

3 = \frac{8k + 4}{3k}

9k = 8k + 4

k = 4

Oleh karena U_1 = k maka U_1 = 4, dengan demikian,

U_5 = ar\sp{5-1}

= ar^4

= 4 \cdot 3^4

= 4 \cdot 81

= 324

Rumus Jumlah n Suku Pertama dari Deret Geometri

Misalkan U_1+U_2+...+U_n merupakan deret geometri, dengan suku pertama a dan rasio r, maka jumlah n suku pertama (S_n) dari deret tersebut adalah S_n = \frac{a (1-r^n)}{1-r} atau S_n = \frac{a (r^n - 1)}{r-1}

Contoh :

Diketahui deret 4 + 12 + 36 + 108 …

Tentukan:

a. rumus jumlah n suku pertama,

b. jumlah 7 suku pertamanya

Jawab:

4 + 12 + 36 + 108 …

Dari deret tersebut diketahui a = 4 dan r = 12/4 = 3

  1. S_n = \frac{a (r^n - 1)}{r-1}

    = \frac{4 (3^n - 1)}{3-1}

    = \frac{4 (3^n - 1)}{2}

    = 2(3^{n}-1)

    Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret tersebut adalah 2(3^{n}-1)

     

  2. Jumlah 7 suku pertama

    S_7 = 2(3^7 - 1)

    = 2(2187 – 1)

    = 4372

    Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 4.372.

About these ads

4 thoughts on “Deret Aritmatika dan Geometri

  1. Kenapa pada contoh soal ke – 1 setelah definisi deret geometri saya menemukan hasil k = 1/4 (seperempat) ya…karena ruas kanan saya hitung lebih dulu…jadi 3= 8k+4 dibagi 3k sehingga didapat 3 = 8/3 + 4/3k sehingga 3 – 8/3 = 4/3k jadi 1/3 = 4/3 k sehingga diperoleh hasil k = 1/4 (seperempat)….ini tolong dikoreksi…saya salah dimana ya?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s